यदि R,a का वह न्यूनतम मान है जिसके लिए फलन f( | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + ax + 1$ है।इसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'

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$2$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + ax + 1$ है।इसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।$2x + a \geq 0 \implies a \geq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(1) = -2$ है। अतः $R = -2$ है।फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर ह्रासमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।$2x + a \leq 0 \implies a \leq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।यह शर्त सभी $x$ के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए $a \leq \min(-2x)$ होना चाहिए। अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का न्यूनतम मान $x=2$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(2) = -4$ है। अतः $S = -4$ है।अब,$|R - S| = |-2 - (-4)| = |-2 + 4| = 2$।

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निम्नलिखित में से किस अंतराल पर फलन $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ निरंतर वर्धमान है?

यदि $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2, \forall x \neq 0$ और $y=9 x^2 f(x)$ है,तो $y$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है:

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \log |\cos x|$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में ह्रासमान है और $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ में वर्धमान है।

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